Учебник по SciPy
Изучите SciPy: линейная алгебра, интегрирование, оптимизация, интерполяция, статистика и обработка изображений с примерами.
SciPy (Scientific Python) — это библиотека с открытым исходным кодом, которая опирается на NumPy и добавляет обширный набор алгоритмов для математики, науки и инженерии. Если NumPy предоставляет ndarray и базовые операции, то SciPy предлагает специализированные решатели: численное интегрирование, оптимизацию, интерполяцию, обработку сигналов, статистику, пространственные алгоритмы и многое другое.
В этой главе рассматриваются:
- Установка SciPy и соглашение об импорте
- Линейная алгебра (
scipy.linalg) - Численное интегрирование и дифференцирование (
scipy.integrate) - Оптимизация — поиск минимумов и корней (
scipy.optimize) - Интерполяция (
scipy.interpolate) - Статистика (
scipy.stats) - N-мерная обработка изображений (
scipy.ndimage)
Установка SciPy
SciPy входит в состав дистрибутива Anaconda. Чтобы установить его с помощью pip:
pip install scipySciPy зависит от NumPy, который pip устанавливает автоматически, если он ещё не присутствует.
Соглашение об импорте
SciPy организован в виде подпакетов. Импортируйте только те подпакеты, которые вам нужны, а не всю библиотеку целиком:
import numpy as np
from scipy import linalg, integrate, optimize, interpolate, stats, ndimageВы также можете проверить установленную версию:
import scipy
print(scipy.__version__) # e.g. 1.13.0Линейная алгебра
scipy.linalg расширяет подпрограммы линейной алгебры NumPy дополнительными разложениями и решателями. Все функции работают с обычными массивами NumPy.
Определитель и обратная матрица
import numpy as np
from scipy import linalg
a = np.array([[1, 2],
[3, 4]])
det = linalg.det(a)
print(det) # -2.0
inv = linalg.inv(a)
print(inv)
# [[-2. 1. ]
# [ 1.5 -0.5]]det([[1,2],[3,4]]) = 1×4 − 2×3 = −2. Обратная матрица удовлетворяет условию a @ inv == I.
Собственные значения и собственные векторы
Собственные значения описывают, как матрица растягивает пространство; собственные векторы задают направления, которые не подвергаются вращению.
import numpy as np
from scipy import linalg
a = np.array([[1, 2],
[3, 4]])
eigenvalues, eigenvectors = linalg.eig(a)
print(eigenvalues)
# [-0.37228132+0.j 5.37228132+0.j]
print(eigenvectors)
# [[-0.82456484 -0.41597356]
# [ 0.56576746 -0.90937671]]Каждый столбец eigenvectors соответствует соответствующему собственному значению. Собственные значения возвращаются как комплексные числа, даже когда мнимая часть равна нулю.
Сингулярное разложение (SVD)
SVD разложение факторизует матрицу A на три матрицы U, s, Vt так, что A = U @ diag(s) @ Vt. Это основа метода главных компонент (PCA) и многих техник уменьшения размерности.
import numpy as np
from scipy import linalg
a = np.array([[1, 2],
[3, 4]])
u, s, vt = linalg.svd(a)
print(u)
# [[-0.40455358 -0.9145143 ]
# [-0.9145143 0.40455358]]
print(s) # [5.4649857 0.36596619]
print(vt)
# [[-0.57604844 -0.81741556]
# [ 0.81741556 -0.57604844]]Решение системы линейных уравнений
linalg.solve — правильный способ решения Ax = b. Он быстрее и численно стабильнее, чем вычисление обратной матрицы с последующим умножением.
import numpy as np
from scipy import linalg
# Solve: 1x + 2y = 5
# 3x + 4y = 11
A = np.array([[1, 2],
[3, 4]])
b = np.array([5, 11])
x = linalg.solve(A, b)
print(x) # [1. 2.]
# Verify: A @ x should equal b
print(np.allclose(A @ x, b)) # TrueЧисленное интегрирование
scipy.integrate предоставляет подпрограммы для вычисления определённых интегралов, когда аналитическое решение нецелесообразно.
Интегрирование функции одной переменной с помощью quad
integrate.quad использует адаптивную квадратуру для интегрирования функции на интервале. Возвращает результат и оценку абсолютной погрешности.
import numpy as np
from scipy import integrate
# Integrate f(x) = x^2 + 2x + 1 from 0 to 1
# Analytical result: [x^3/3 + x^2 + x] from 0 to 1 = 1/3 + 1 + 1 = 7/3
def f(x):
return x**2 + 2*x + 1
result, error = integrate.quad(f, 0, 1)
print(result) # 2.3333333333333335
print(error) # ~2.6e-14 (absolute error estimate)Численное дифференцирование
Функция approx_fprime из SciPy вычисляет градиент методом конечных разностей. Для скалярных функций проще использовать центральные разности derivative из scipy.misc:
import numpy as np
from scipy.optimize import approx_fprime
# Derivative of sin(x) at x = 0 should be cos(0) = 1
result = approx_fprime([0.0], lambda x: np.sin(x[0]), 1e-8)
print(result[0]) # ~1.0Оптимизация
scipy.optimize находит минимумы, максимумы (путём минимизации отрицательного значения) и корни функций.
Минимизация функции многих переменных
optimize.minimize поддерживает множество методов (Nelder-Mead, BFGS, L-BFGS-B, …). Метод по умолчанию выбирается автоматически.
from scipy import optimize
# Minimize f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 — minimum at x = -1
def f(x):
return x**2 + 2*x + 1
result = optimize.minimize(f, x0=0) # x0 is the starting guess
print(result.success) # True
print(result.x) # [-1.00000001] (near -1)
print(result.fun) # ~0.0 (minimum value)Минимизация скалярной функции на ограниченном интервале
optimize.minimize_scalar проще для задач с одной переменной. Всегда указывайте bounds с method='bounded', когда функция не имеет глобального минимума (то есть не ограничена):
from scipy import optimize
# Minimize h(x) = x^2 - 4x + 3 over [0, 4] — minimum at x = 2, h(2) = -1
def h(x):
return x**2 - 4*x + 3
result = optimize.minimize_scalar(h, bounds=(0, 4), method='bounded')
print(result.x) # ~2.0
print(result.fun) # -1.0Поиск корней
optimize.root_scalar находит точки, где функция обращается в ноль:
from scipy.optimize import root_scalar
# Solve x^2 - 4 = 0 in the interval [0, 3] — root at x = 2
res = root_scalar(lambda x: x**2 - 4, bracket=[0, 3])
print(res.root) # 2.0Интерполяция
scipy.interpolate строит гладкую кривую через точки данных, позволяя оценивать значения между ними.
Одномерная интерполяция
interp1d создаёт вызываемую функцию интерполяции из дискретных пар (x, y). Параметр kind задаёт метод: 'linear' (по умолчанию), 'quadratic' или 'cubic'.
import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d
# Sample points from y = x^2
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4])
y = np.array([0, 1, 4, 9, 16])
f_linear = interp1d(x, y) # piecewise linear
f_cubic = interp1d(x, y, kind='cubic') # cubic spline
# Estimate y at x = 2.5 (exact value: 2.5^2 = 6.25)
print(float(f_linear(2.5))) # 6.5 (linear — slightly off)
print(float(f_cubic(2.5))) # 6.25 (cubic — matches exactly for polynomials)Кубическая интерполяция воспроизводит точный результат, поскольку данные получены из квадратного полинома, а кубический сплайн достаточно гибок, чтобы подогнать его идеально.
Статистика
scipy.stats содержит более 80 непрерывных и дискретных вероятностных распределений, а также набор статистических тестов.
Описательная статистика и нормальное распределение
import numpy as np
from scipy.stats import norm
# Standard normal distribution (mean=0, std=1)
print(norm.pdf(0)) # 0.3989422804014327 — probability density at x = 0
print(norm.cdf(1.96)) # 0.9750021048517795 — P(X <= 1.96)
print(norm.ppf(0.975)) # 1.9599639845400536 — inverse CDF (quantile function)
# Fit a normal distribution to data
data = np.array([2.1, 3.3, 2.8, 3.1, 2.5, 3.0, 2.7])
mu, sigma = norm.fit(data)
print(f'Fitted mean: {mu:.4f}, std: {sigma:.4f}')Проверка гипотез
scipy.stats включает t-тесты, тесты хи-квадрат, ANOVA, тесты Колмогорова-Смирнова и многое другое.
import numpy as np
from scipy.stats import ttest_1samp, ttest_ind
# One-sample t-test: is the sample mean significantly different from 5?
sample = np.array([4.8, 5.1, 4.9, 5.3, 5.2, 4.7, 5.0])
t_stat, p_value = ttest_1samp(sample, popmean=5.0)
print(f't = {t_stat:.4f}, p = {p_value:.4f}')
# p > 0.05 → no significant difference from 5
# Two-sample t-test: are these two groups different?
group_a = np.array([5.1, 5.3, 4.9, 5.2, 5.0])
group_b = np.array([6.1, 6.3, 5.8, 6.0, 5.9])
t_stat2, p_value2 = ttest_ind(group_a, group_b)
print(f't = {t_stat2:.4f}, p = {p_value2:.6f}')
# Very small p → groups are significantly differentСлучайные величины и выборка
Каждое распределение в scipy.stats предоставляет единый интерфейс: pdf, cdf, ppf, rvs (случайные величины) и fit.
from scipy.stats import norm, poisson
# Draw 5 samples from a normal distribution with mean=10, std=2
samples = norm.rvs(loc=10, scale=2, size=5, random_state=42)
print(samples.round(2)) # [10.99 9.72 11.3 13.05 9.53]
# Poisson distribution: P(X = k) for mean lambda=3
for k in range(6):
print(f'P(X={k}) = {poisson.pmf(k, mu=3):.4f}')N-мерная обработка изображений
scipy.ndimage работает с массивами любой размерности (изображения, объёмы, временны́е кубы). Ниже приведён самодостаточный пример с синтетическим двумерным массивом, не требующий внешнего файла изображения.
Размытие по Гауссу и маркировка связных областей
import numpy as np
from scipy import ndimage
# Create a synthetic 5x5 "image" with a bright spot in the centre
image = np.array([
[0, 0, 0, 0, 0],
[0, 1, 1, 1, 0],
[0, 1, 5, 1, 0],
[0, 1, 1, 1, 0],
[0, 0, 0, 0, 0],
], dtype=float)
# Smooth the image with a Gaussian filter (sigma controls the blur radius)
blurred = ndimage.gaussian_filter(image, sigma=1)
print('Center value after blur:', round(blurred[2, 2], 4))
# 1.4166 — the bright peak is spread across neighbouring pixels
# Label connected non-zero regions (like counting distinct objects)
binary = image > 0
labeled, num_regions = ndimage.label(binary)
print('Number of connected regions:', num_regions) # 1
print(labeled)
# [[0 0 0 0 0]
# [0 1 1 1 0]
# [0 1 1 1 0]
# [0 1 1 1 0]
# [0 0 0 0 0]]Распространённые операции ndimage
| Функция | Что делает |
|---|---|
gaussian_filter(a, sigma) | Сглаживание с гауссовым ядром |
sobel(a) | Обнаружение границ (градиент Собеля) |
label(a) | Маркировка связных областей в бинарном массиве |
binary_dilation(a) | Расширение областей переднего плана |
zoom(a, factor) | Изменение размера массива |
rotate(a, angle) | Поворот массива (в градусах) |
Когда использовать SciPy вместо других библиотек
| Задача | Предпочтительный инструмент |
|---|---|
| Создание массивов и базовая математика | NumPy |
| DataFrame, временны́е ряды, ввод/вывод | Pandas |
| Научные алгоритмы (интегрирование, оптимизация) | SciPy |
| Машинное обучение | scikit-learn (строится на SciPy) |
| Визуализация | Matplotlib |
SciPy не является заменой NumPy — он зависит от NumPy и расширяет его. На практике вы будете импортировать оба.
Краткий справочник
| Подпакет | Ключевые функции |
|---|---|
scipy.linalg | det, inv, eig, svd, solve |
scipy.integrate | quad, dblquad, solve_ivp |
scipy.optimize | minimize, minimize_scalar, root_scalar |
scipy.interpolate | interp1d, CubicSpline, griddata |
scipy.stats | norm, ttest_1samp, ttest_ind, chi2_contingency |
scipy.ndimage | gaussian_filter, label, sobel, zoom |
scipy.signal | butter, lfilter, find_peaks |
scipy.spatial | distance, KDTree, ConvexHull |